/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 3712905

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trapezie ABCD o podstawach AB i CD dane są długości przekątnych |AC | = 8 i |BD | = 1 2 oraz pola PABG = 18 i PCDG = 2 . Punkty E i F są środkami odpowiednio przekątnych BD i AC .

PIC

Oblicz pole trapezu ABEF .

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że trójkąty ABG i CDG są podobne (bo mają równe kąty) oraz znamy ich skalę podobieństwa

k2 = PABG--= 18-= 9 ⇒ k = 3. PCDG 2

Zatem

AG-- = -BG- = k = 3 GC GD

oraz

3 AG = --⋅AC = 6 4 BG = 3-⋅BD = 9 . 4

Stąd

GF = AG − AF = 6− 4 = 2 GE = BG − BE = 9 − 6 = 3.

To oznacza, że trójkąty F EG i ABG są podobne w skali 2 : 6 = 1 : 3 (bo mają wspólny kąt i proporcjonalne boki przylegające do tego kąta). Zatem

P = 1P = 1-⋅18 = 2 . FEG 9 ABG 9

Stąd

PABEF = PABG − PFEG = 1 8− 2 = 16.

 
Odpowiedź: PABEF = 16

Wersja PDF