Zadanie nr 3814472
Pole trapezu jest równe , a stosunek długości jego podstaw wynosi . Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.
Rozwiązanie
Zacznijmy od rysunku i załóżmy, że .
Jedną z najważniejszych własności trapezu, która jest notorycznie wykorzystywana w zadaniach, jest podobieństwo trójkątów i . W dodatku, skala podobieństwa to dokładnie stosunek długości podstaw. Informacja ta oznacza w szczególności, że stosunki pól
są równe . Aby to zobaczyć, popatrzmy na trójkąty i . Mają one wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka , a stosunek długości podstaw to , czyli dokładnie skala podobieństwa trójkątów i . Podobnie uzasadniamy pozostałe równości. Morał z tego jest taki, że wszystkie pola możemy wyliczyć w zależności od jednego z nich, np. od . Mamy
Stąd
Odpowiedź: