Zadanie nr 3949675
W okrąg o promieniu 7 wpisano czworokąt . Oblicz obwód i pole tego czworokąta, wiedząc, że , i stosunek pola trójkąta do pola trójkąta wynosi 2:1.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
Ponieważ suma przeciwległych kątów czworokąta wpisanego w okrąg wynosi , więc
Ale w takiej sytuacji trójkąt musi być równoboczny (bo jest równoramienny, więc pozostałe jego kąty też są równe ). Od razu obliczmy długość jego boku. Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym to jego wysokości, czyli
Zatem pole tego trójkąta jest równe
Ok, teraz pora zabrać się za trójkąt . Zauważmy, że
Zatem podany warunek o stosuku pól możemy zapisać w postaci
Oznaczmy – długość tego odcinka możemy wyliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie .
Możemy teraz wyliczyć obwód czworokąta :
Pozostało policzyć pole trójkąta .
Zatem pole czworokąta jest równe
Odpowiedź: Obwód: , pole: