/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 4252657

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Podstawy trapezu prostokątnego mają długości a = 1 0 cm i b = 6 cm , zaś bok prostopadły do podstaw ma długość c = 3 cm .

  • Oblicz odległość punktu przecięcia się przekątnych tego trapezu od podstawy długości a i ramienia długości c .
  • Czy w trapez można wpisać okrąg? Odpowiedź uzasadnij.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

  • Zauważmy, że trójkąty ABF i CDF są podobne (bo mają równe kąty). W dodatku znamy skalę podobieństwa
    k = AB-- = 1-0 = 5-. CD 6 3

    Zatem odcinek EF stanowi 5 8 odcinka BC , czyli

    5 15 EF = --⋅BC = --. 8 8

    Podobnie jak poprzednio, ponieważ AF- 5 FC = 3 , więc

    AB--= AC--= AF-+--FC--= AF--+ 1 = 5-+ 1 = 8. FG FC FC F C 3 3

    Czyli

    3 15 FG = --AB = ---. 8 4

     
    Odpowiedź: 158-cm i 145cm

  • W czworokąt można wpisać okrąg jeżeli sumy przeciwległych boków są równe. Aby sprawdzić czy tak jest, wyliczamy długość ramienia AD . Patrzymy na trójkąt prostokątny AHD .
    ∘ ------------- √ ------- AD = AH 2 + HD 2 = 1 6+ 9 = 5.

    Zatem

    AD + BC = 8 ⁄= AB + CD = 16.

     
    Odpowiedź: Nie, nie można.

Wersja PDF