Zadanie nr 4267355
W trapezie równoramiennym o podstawach długości 20 i 40, oraz kącie ostrym o mierze połączono środki wszystkich boków. Oblicz pole otrzymanego czworokąta.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
Od razu widać, że z trójkąta można wyliczyć długości wysokości i ramienia trapezu.
Sposób I
Zamiast liczyć pole czworokąta, łatwo można policzyć pola trójkątów, które do niego nie należą. Ponieważ , więc suma tych pól jest równa
Aby otrzymać interesujące na pole czworokąta, musimy to pole trójkątów odjąć od pola trapezu.
Sposób II
Jeżeli popatrzymy na trójkąty i to z twierdzenia Talesa, dostajemy . Podobnie zauważamy, że . Zatem interesujący nas czworokąt jest rombem i jego pole jest równe połowie iloczynu długości przekątnych. Przekątną mamy już wyliczoną, a druga przekątna to odcinek łączący środki ramion trapezu, więc ma długość (znany fakt)
Zatem szukane pole jest równe
Sposób III
Jak zauważyliśmy w poprzednim sposobie łączy środki boków w trójkącie . Podobnie łączy środki boków w trójkącie . Zatem
Podobnie uzasadniamy, że
Zatem pole interesującego na czworokąta jest równe
Odpowiedź: