Zadanie nr 4279347
W trapezie dane są długości podstaw: , i ramion: , . Oblicz długość przekątnej tego trapezu.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Sposób I
Oznaczmy . Piszemy twierdzenia Pitagorasa w trójkątach i .
Porównujemy teraz z obu równości.
Otrzymana ujemna długość odcinka może wyglądać podejrzanie, ale tak naprawdę wszystko jest ok, ten rachunek próbuje nam po prostu powiedzieć, że wykonaliśmy zły rysunek - przy danych długościach boków trapezu punkt znajduje się na lewo od wierzchołka . Dokładnie tyle mówi nam ten wynik.
Łatwo sprawdzić, że przy poprawnym rysunku, otrzymamy . Obliczamy teraz długość przekątnej – tak naprawdę wszystko którego rysunku i odpowiadającej wartości użyjemy – wynik będzie ten sam. My patrzymy na drugi rysunek i bierzemy .
Sposób II
Tym razem użyjemy twierdzenia cosinusów.
Oznaczmy i napiszmy twierdzenia cosinusów w trójkątach i .
Odejmujemy teraz od pierwszego równania drugie pomnożone przez 2 i mamy
Sposób III
Tym razem umieśćmy trapez w układzie współrzędnych. Bez zmniejszania ogólności możemy założyć, że , , i . Podane długości ramion prowadzą w takiej sytuacji do równości
Jeżeli odejmiemy od drugiego równania pierwsze to mamy
Obliczamy długość przekątnej
Odpowiedź: