Zadanie nr 4346831
Punkt należy do okręgu opisanego na kwadracie . Wykaż, że wyrażenie ma stałą wartość, niezależną od wyboru punktu .
Rozwiązanie
Sposób I
Zacznijmy od rysunku.
Jeżeli dorysujemy przekątne kwadratu (a więc średnice okręgu), to trójkąty i są prostokątne. Zatem
Dodając te równości stronami mamy
Sposób II
Możemy tak wybrać układ współrzędnych na płaszczyźnie, że dany kwadrat ma wierzchołki , , i . Okrąg opisany na tym kwadracie ma równanie .
Jeżeli teraz jest dowolnym punktem na okręgu, to
Dodając te równości stronami mamy