Zadanie nr 4481041
W równoległoboku kąt ostry ma miarę , zaś dłuższy bok ma długość 8. Promień okręgu opisanego na trójkącie ma długość 4. Oblicz pole równoległoboku.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od rysunku.
Widać, że dość łatwo jest wyliczyć długość przekątnej – stosujemy twierdzenie sinusów
Sposób I
W trójkącie znamy długości dwóch boków oraz miarę jednego kąta. W takiej sytuacji możemy wyliczyć długość trzeciego boku z twierdzenia cosinusów. Oznaczmy . Mamy wtedy
Pozostało teraz wyliczyć wysokość równoległoboku – liczymy ją z trójkąta prostokątnego .
Zatem pole równoległoboku jest równe
Sposób II
Tym razem wyliczymy długość boku korzystając z twierdzenia sinusów w trójkącie . Dokładniej, korzystając z twierdzenia sinusów, wyliczymy najpierw miarę kąta . Mamy
W takim razie trójkąt jest prostokątny i na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy
Wysokość i pole równoległoboku możemy teraz obliczyć jak w pierwszym sposobie, ale możemy też zrobić to odrobinę, szybciej korzystając ze wzoru na pole z sinusem.
Sposób III
Zauważmy, że ponieważ i jednocześnie wiemy, że promień okręgu opisanego na trójkącie jest równy 4, więc jest średnicą tego okręgu. Zatem . Dalej liczymy jak w poprzednim sposobie.
Odpowiedź: