/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 4533514

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W okrąg wpisano trapez równoramienny ABCD , którego podstawy mają długości: |AB | = 8 cm , |DC | = 4 cm . Styczna do okręgu w punkcie D przecina prostą AB w punkcie E (rys). Wiedząc, że √ -- |DE | = 6 5 cm oblicz promień okręgu opisanego na trapezie ABCD .

PIC

Rozwiązanie

Niech punkty F i G będą rzutami punktów D i C na podstawę AB oraz niech ∡DAB = α .

PIC

Korzystając z twierdzenia o siecznych mamy

2 EA ⋅EB = ED EA (EA + 8 ) = 180 = 10 ⋅18 ⇒ EA = 10.

Jeżeli nie chcemy korzystać z twierdzenia o siecznych, to powinniśmy najpierw zauważyć, że trójkąty EAD i EDB są podobne. Wtedy powyższy rachunek wynika z ich podobieństwa.

Obliczamy teraz długości: wysokości, ramienia i przekątnej trapezu.

∘ ----------- √ ---------- √ --- DF = ED 2 − EF 2 = 180 − 144 = 36 = 6 ∘ ------------ √ ------- √ --- AD = AF 2 + DF 2 = 4 + 36 = 2 10 ∘ ---2------2- √ -------- √ -- DB = FB + DB = 36 + 36 = 6 2.

Promień okręgu opisanego na trapezie ABCD możemy teraz obliczyć korzystając z twierdzenia sinusów w trójkącie ABD .

sin α = DF--= -√6---= √-3-- AD 2 10 10 √ -- √ -- √ -- 2R = DB---= 6--2-= 2 ⋅2 5 ⇒ R = 2 5. sin α √3-- 10

 
Odpowiedź: √ -- 2 5 cm

Wersja PDF