Zadanie nr 4601113
Podstawy trapezu równoramiennego mają długości i , a jego przekątna ma długość . Wyznacz cosinus kąta między przekątnymi tego trapezu.
Rozwiązanie
Jak zwykle zaczynamy od rysunku.
Sposób I
Jak wyliczyć szukany ? Najprościej byłoby zastosować twierdzenie cosinusów do trójkąta . Aby to zrobić musimy najpierw wyliczyć długość odcinka . Kluczowe do tego jest podobieństwo trójkątów i . Dzięki niemu, oraz dzięki równości mamy
Mamy stąd
No i możemy napisać twierdzenie cosinusów dla trójkąta :
Sposób II
Tym razem bądźmy sprytniejsi i poprowadźmy przez punkt prostą równoległą do przekątnej (prawy rysunek). Punkt wspólny tej prostej i podstawy oznaczmy przez .
Zauważmy, że czworokąt jest równoległobokiem, więc i . Ponadto . Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie .
Odpowiedź: