/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 4639124

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest prostokąt ABCD , w którym |AB | = 10 , |BC | = 6 . Odcinek AE jest wysokością trójkąta DAB opuszczoną na jego bok BD . Oblicz pole trójkąta AED .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy

∘ ------------ √ --------- √ ------- √ --- BD = AB 2 + AD 2 = 100 + 36 = 4 25+ 9 = 2 34.

Sposób I

Zauważmy, że trójkąty prostokątne AED i BAD są podobne (bo mają wspólny kąt ADB ). Znamy ponadto ich skalę podobieństwa

AD 6 3 k = ---- = -√----= √---. BD 2 34 34

Ponieważ pole zmienia się jak kwadrat skali podobieństwa, mamy

PAED = k2 ⋅PBAD = -9-⋅ 1-⋅6⋅1 0 = 135-. 3 4 2 17

Sposób II

Zauważmy, że

AE AB AB 1 0 30 AD--= cosα = BD-- ⇒ AE = AD ⋅BD--= 6⋅ -√----= √---- 2 34 34 DE-- AD-- AD--2 --36-- -18-- AD = sin α = BD ⇒ DE = BD = 2√ 34-= √ 34-.

Obliczamy pole trójkąta AED .

PAED = 1-⋅AE ⋅DE = 1-⋅√30--⋅√1-8- = 1-5⋅18-= 13-5. 2 2 34 3 4 3 4 17

 
Odpowiedź: 135 17

Wersja PDF