Zadanie nr 4644578
W okrąg o średnicy 26 wpisano trapez równoramienny w ten sposób, że suma kwadratów długości jego podstaw jest równa 914, a sinus kąta ostrego wynosi . Oblicz pole tego trapezu.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Zauważmy, że z podanego sinusa i średnicy okręgu możemy wyliczyć długość przekątnej . Stosujemy twierdzenie sinusów w trójkącie .
Chcielibyśmy teraz jakoś wykorzystać trójkąt prostokątny . Zanim to jednak zrobimy obliczmy i .
Jeżeli oznaczymy to mamy
Teraz piszemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie .
Teraz łatwo się zaciąć, bo nie bardzo widać jak sensownie wykorzystać podaną sumę kwadratów długości podstaw. Nie zrażajmy się jednak, że nie potrafimy ładnie wyliczyć – okazuje się, że nie ma to większego znaczenia. Rzeczywiście,
W takim razie
i pole trapezu jest równe
Odpowiedź: