/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 4665263

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkt E jest punktem wspólnym dwusiecznych kątów ABC i BCD trapezu ABCD o podstawach AB i CD . Punkt F jest środkiem odcinka BC (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że |BC | = 2|EF | .

Rozwiązanie

Oznaczmy ∡ABC = 2 α i ∡BCD = 2β .

PIC

Zauważmy, że

2α + 2β = ∡ABC + ∡BCD = 180∘ ⇒ α + β = 90∘.

To oznacza, że trójkąt BEC jest prostokątny. Teraz wystarczy zauważyć, że punkt F jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie BEC (bo okrąg o średnicy BC przechodzi przez punkt E ). W takim razie

1 FE = FC = FB ⇒ FE = 2-BC .
Wersja PDF