Zadanie nr 4805390
Przekątne czworokąta są prostopadłe.
- Wykaż, że sumy kwadratów przeciwległych boków tego czworokąta są równe.
- Wykaż, że jeżeli długości jego boków są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to czworokąt ten jest rombem.
Rozwiązanie
Rozpocznijmy od szkicowego rysunku.
- Jeżeli przez oznaczymy długości odcinków łączących wierzchołki czworokąta z punktem przecięcia się przekątnych to na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy
W takim razie
- Skoro długości boków są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to możemy je oznaczyć przez . Na mocy poprzedniego podpunktu mamy
Oczywiście nie może być ujemne, czyli i wszystkie boki czworokąta mają równe długości.