/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 4914470

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trapezie ABCD o podstawach AB i CD dane są długości przekątnych |AC | = 20 i |BD | = 3 0 oraz pola PABG = 98 i PCDG = 1 8 . Punkty E i F są środkami odpowiednio przekątnych BD i AC .

PIC

Oblicz pole trójkąta FEG .

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że trójkąty ABG i CDG są podobne (bo mają równe kąty) oraz znamy ich skalę podobieństwa

k2 = PABG--= 98-= 49- ⇒ k = 7. PCDG 18 9 3

Zatem

AG--= BG-- = k = 7- GC GD 3

oraz

7 AG = ---⋅AC = 1 4 10 BG = 7--⋅BD = 2 1. 10

Stąd

GF = AG − AF = 14− 10 = 4 GE = BG − BE = 21 − 15 = 6.

To oznacza, że trójkąty F EG i ABG są podobne w skali 4 : 1 4 = 6 : 21 = 2 : 7 (bo mają wspólny kąt i proporcjonalne boki przylegające do tego kąta). Zatem

( ) 2- 2 4-- PFEG = 7 PABG = 49 ⋅98 = 8 .

 
Odpowiedź: PFEG = 8

Wersja PDF