Zadanie nr 5077874
W czworokącie wypukłym , długości boków są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wykaż, że dwusieczne kątów wewnętrznych tego czworokąta przecinają się w jednym punkcie.
Rozwiązanie
Jeżeli długości boków są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to możemy te długości oznaczyć przez .
W szczególności,
To oznacza, że w czworokąt można wpisać okrąg. Środkiem tego okręgu jest punkt, który leży na każdej z dwusiecznych czworokąta (bo odległość punktu od każdego boku jest taka sama). Dwusieczne te przecinają się więc w punkcie .