/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 5109257

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dwusieczne kątów wewnętrznych trapezu ABCD przecinają się w punktach K ,L,M ,N (patrz rysunek). Wykaż, że |MN |2 − |KL |2 = |ML |2 − |KN |2 .

PIC

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy ∡A = 2α i ∡B = 2β , to mamy

∡D = 180∘ − ∡A = 180∘ − 2α ⇒ ∡ADL = 9 0∘ − α ⇒ ∡ALD = 90∘ ∡C = 18 0∘ − ∡B = 180∘ − 2β ⇒ ∡BCN = 90∘ − β ⇒ ∡BNC = 9 0∘.

To oznacza, ż trójkąty KLM i KNM są prostokątne.

PIC

Na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy więc

KL 2 + ML 2 = KM 2 = KN 2 + MN 2.

A to jest dokładnie równość, którą mieliśmy udowodnić.

Wersja PDF