Zadanie nr 5179452
Środek okręgu wpisanego w trapez prostokątny znajduje się w odległości 2 cm i 4 cm od końców ramienia pochyłego danego trapezu. Znaleźć pole trapezu.
Rozwiązanie
Naszkicujmy sobie opisaną sytuację.
Sposób I
Po pierwsze zauważmy, że
co oznacza, że trójkąt jest prostokątny. W dodatku, jego wysokość opuszczona z wierzchołka jest równa promieniowi okręgu wpisanego w trapez. Porównując dwa wzory na pole trójkąta mamy
W czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe, zatem
Możemy więc wyliczyć pole.
Sposób II
Tak jak w poprzednim sposobie zauważamy, że . Z trójkątów prostokątnych i mamy
Podstawiamy te wartości do jedynki trygonometrycznej i mamy
Teraz raz jeszcze patrzymy na trójkąty prostokątne i .
Pole trapezu jest więc równe
Odpowiedź: