/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 5191821

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na bokach AB i AD rombu ABCD wybrano odpowiednio punkty M i L w ten sposób, że |AL | = |AM | = 35|AB | . Odcinek LM jest styczny do okręgu wpisanego w romb ABCD . Punkt K jest punktem styczności okręgu wpisanego w ten romb z bokiem AD (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że |AK | |KD-| = 241 .

Rozwiązanie

Dorysujmy przekątne rombu oraz połączmy środek S okręgu wpisanego w romb z punktem K .

PIC

Wiemy, że

3 AL-- = AM---= 5AD---= 3, LD MB 2AD 2 5

więc możemy oznaczyć AL = AM = 3a i LD = MB = 2a .

Przekątna AC jest osią symetrii danego rysunku, więc przecina odcinek LM w jego środku – oznaczmy ten punkt przez N . Jeżeli oznaczymy LM = 2x , to

LN = NM = x

oraz

LK = LN = x

(odcinki stycznych do okręgu). Trójkąty AML i ABD są podobne, więc

LM-- = -AL- = 3- ⇒ DB = 5-LM = 10x. DB AD 5 3 3

Stąd

5 DS = SB = -x. 3

Popatrzmy teraz na trójkąty prostokątne ANL i SKD . Mamy w nich

∡SDK = α = ∡SDA = ∡NLA ,

więc są podobne. Stąd

LN KD ---- = cos α = ---- LA DS -x-= 2a-−-x-= 6-⋅ a-− 3. 3a 5x 5 x 5 3

Jeżeli oznaczmy t = x a , to mamy

1- 6- 1- 3- 3t = 5 ⋅ t − 5 / ⋅15t 2 5t + 9t − 18 = 0 Δ = 8 1+ 360 = 441 = 212 t = −-9−--21-< 0 lub t = −-9+--21-= 1-2 = 6-. 10 10 1 0 5

To oznacza, że

1 x 6 21 AK-- = 3a+--x-⋅a-= 3-+-a-= 3-+-5-= 5--= 21. KD 2a− x 1a 2 − xa 2 − 65 45 4
Wersja PDF