Zadanie nr 5309071
Przekątne trapezu przecinają się w punkcie . Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym jest o 1 większy od promienia okręgu opisanego na trójkącie , a długości podstaw trapezu spełniają warunek . Wykaż, że
Rozwiązanie
Zaczynamy naturalnie od rysunku.
Jeżeli oznaczymy i , to i na mocy twierdzenia sinusów mamy
gdzie przez oznaczyliśmy promień okręgu opisanego na trójkącie . Z założenia, promień okręgu opisanego na trójkącie jest równy , więc
Wiemy, że trójkąt jest ostrokątny, więc . Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie .