Zadanie nr 5432624
Kwadratowe szklane płytki o boku długości 1 cm, połączone w jednym wierzchołku, rozsunęły się tak, że boki wychodzące z jednego wierzchołka tworzą ze sobą kąt . Oblicz pole części wspólnej płytek. Wynik podaj z dokładnością do .
Rozwiązanie
Sposób I
Jeżeli dorysujemy odcinek jak na obrazku, to otrzymamy dwa przystające trójkąty prostokątne.
Jedna z przyprostokątnych tych trójkątów ma długość 1, spróbujmy wyliczyć długość drugiej. Mamy
Zatem pole jednego trójkąta wynosi
Zatem
Sposób II
Tym razem dorysujmy odcinek . Trójkąt jest równoramienny i kąt między ramionami jest równy , zatem pozostałe kąty też muszą być równe i trójkąt ten jest równoboczny. Jego pole jest równe
Pozostało policzyć pole trójkąta . Ponieważ suma kątów w czworokącie jest równa , mamy
Trójkąt możemy więc podzielić na dwa trójkąty prostokątne o kącie ostrym . Mamy więc
Zatem pole czworokąta jest równe
Odpowiedź: