/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 5522986

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trapezie o podstawach długości 10 cm i 6 cm oraz wysokości równej 4 cm poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z otrzymanych trójkątów.

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Obliczmy najpierw pola trójkątów ABC i ADC .

PABC = 1-⋅AB ⋅h = 1-⋅10 ⋅4 = 20 2 2 1- 1- PADC = 2 ⋅DC ⋅h = 2 ⋅6 ⋅4 = 12.

Jedną z najważniejszych własności trapezu, która jest notorycznie wykorzystywana w zadaniach, jest podobieństwo trójkątów ABS i DSC (mają równe kąty). W dodatku, skala podobieństwa to dokładnie stosunek długości podstaw. W szczególności

AS AB 10 5 ----= ----= ---= -. SC CD 6 3

To oznacza, że znamy stosunek pól trójkątów ABS i BSC (bo trójkąty te mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka B )

P AS 5 --ABS = ----= -. PBSC SC 3

Stąd

5 5 25 PABS = --PABC = --⋅20 = --- 8 8 2 P = 3-P = 3-⋅20 = 15. BCS 8 ABC 8 2

Analogicznie

PASD--= AS--= 5- PDSC SC 3

oraz

PASD = 5PADC = 5-⋅12 = 1-5 8 8 2 3- 3- 9- PDSC = 8PADC = 8 ⋅12 = 2 .

 
Odpowiedź: 25, 15, 15-, 9 2 2 2 2

Wersja PDF