Zadanie nr 5558424
Czworokąt jest wpisany w okrąg o promieniu . Kąt tego czworokąta jest ostry i jego miara jest o większa od miary kąta . Iloczyn sinusów wszystkich kątów wewnętrznych czworokąta jest równy . Oblicz długości przekątnych i tego czworokąta.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Jeżeli oznaczmy miary kątów wewnętrznych czworokąta tak jak na powyższym rysunku, to mamy
Informacje podane w treści zadania możemy więc zapisać w postaci
Sinusy kątów wypukłych są nieujemne, więc mamy stąd
Możemy otrzymaną zależność przekształcić na różne sposoby, ale najpierw obliczmy funkcje trygonometryczne kąta .
Sposób I
Korzystamy ze wzoru na sinus sumy.
Stąd
Ponieważ jest kątem ostrym oznacza to, że
To w połączeniu z twierdzeniem sinusów pozwala obliczyć długość przekątnej
Podobnie obliczmy długość drugiej przekątnej.
Sposób II
Tym razem będziemy chcieli skorzystać ze wzoru na różnicę sinusów
Prawa strona tego wzoru bardzo przypomina lewą stronę otrzymanej przez nas równości
Odpowiednie wartości i możemy wyznaczyć z warunku
Po dodaniu tych równań stronami mamy , a po odjęciu . Mamy zatem
Korzystamy teraz z wcześniej obliczonych wartości i .
Ponieważ jest kątem ostrym, mamy stąd
Długości przekątnych obliczamy tak samo jak w pierwszym sposobie.
Odpowiedź: ,