Zadanie nr 5627148
Kąt ostry równoległoboku ma miarę . Odległości punktu przecięcia przekątnych równoległoboku od prostych zawierających jego boki są równe 2 oraz 6 odpowiednio. Oblicz pole równoległoboku i długość jego krótszej przekątnej.
Rozwiązanie
Jak to w zadaniach geometrycznych najważniejszy jest rysunek.
Oznaczmy rzuty punktów i jak na rysunku. Ponieważ przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, trójkąty i są podobne w skali 1:2. Daje to nam
Podobnie wyliczamy drugą wysokość (patrzymy na trójkąty podobne i )
Aby obliczyć pole, musimy znać długość podstawy. Aby ją wyliczyć patrzymy na trójkąt jest on prostokątny i . Mamy stąd
Podobnie wyliczamy
Możemy więc wyliczyć pole równoległoboku
Długość krótszej przekątnej możemy wyliczyć stosując twierdzenie cosinusów w trójkącie .
Odpowiedź: Pole: 96, przekątna: