/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 5766276

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na bokach AD , AB i BC rombu ABCD wybrano punkty K , L i M w ten sposób, że KL ∥ DB i LM ∥ AC . Uzasadnij, że pole czworokąta KMCD stanowi połowę pola rombu.

PIC

Rozwiązanie

Oznaczmy przez a długość boku rombu oraz niech AL = x .

PIC

Po pierwsze zauważmy, że z równoległości KL ∥ DB wynika, że trójkąty ALK i ABD są podobne. W szczególności trójkąt ALK jest równoramienny AK = AL = x . Analogicznie uzasadniamy (patrząc na trójkąty LBM i ABC ), że trójkąt LBM jest równoramienny, BL = BM = a − x . W takim razie

KD = a− AK = a − x MC = a − BM = a − (a− x) = x.

Sposób I

Czworokąt KMCD jest trapezem o podstawach KD i MC oraz wysokość h równej wysokości rombu. Jego pole jest więc równe

P = KD--+--MC--⋅h = a−--x-+-x-⋅h = 1ah = 1P . KMCD 2 2 2 2 ABCD

Sposób II

Z warunku AK = CM wynika, że prosta KM przechodzi przez środek symetrii S rombu (czyli przez punkt przecięcia się przekątnych). W szczególności w symetrii środkowej względem punktu S punkty K i M zamieniają się miejscami, czyli czworokąt KMCD przechodzi na czworokąt MKAB . To oznacza, że te dwa czworokąty mają równe pola, więc pole każdego z nich musi stanowić połowę pola rombu.

Wersja PDF