Zadanie nr 5813276
Przekątne rombu przecinają się w punkcie . Punkty i leżą na przekątnej tak, że i . Punkty i leżą na przekątnej tak, że i (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli stosunek pola czworokąta do pola rombu jest równy 1:4, to .
Rozwiązanie
Zauważmy najpierw, że
Analogicznie uzasadniamy, że
Sposób I
Korzystamy z tego, że przekątne rombu są prostopadłe.
Dokładnie w ten sam sposób uzasadniamy, że
Mamy zatem
Z podanego stosunku pól mamy więc równanie
Zatem rzeczywiście .
Sposób II
Zauważmy, że przekątne czworokąta są prostopadłe i dzielą się na połowy. Jest to więc romb i korzystając ze wzoru na pole rombu z przekątnymi mamy
Z podanego stosunku pól mamy więc równanie
Zatem rzeczywiście .