/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 5911147

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Przekątne trapezu o podstawach długości 1 i 2 są prostopadłe. Oblicz sumę kwadratów długości przekątnych trapezu.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.


PIC


Zauważmy, że trójkąty ABS i CDS są podobne (bo mają równe kąty). Ponadto znamy ich skalę podobieństwa

k = AB--= 2. CD

Jeżeli więc oznaczymy DS = x i CS = y to mamy BS = 2x i AS = 2y . Ponadto, z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie DSC mamy

x2 + y2 = 1.

Zatem

AC 2 + BD 2 = (3y )2 + (3x )2 = 9(x2 + y2) = 9 .

 
Odpowiedź: 9

Wersja PDF
spinner