/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 6104929

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trapezie równoramiennym ABCD , w którym AB ∥ CD , dane są |AB | = 84, |CD | = 36 , |BC | = |AD | = 40 . Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt ABP , gdzie P jest punktem przecięcia przekątnych tego trapezu.

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Niech E i F będą spodkami wysokości trapezu opuszczonych z wierzchołków D i C , a K niech będzie rzutem punktu P na prostą AB . Mamy wtedy

AB-−--EF-- 84-−-36- AE = F B = 2 = 2 = 24 EF 36 EK = KF = ---= ---= 18. 2 2

Z trójkąta prostokątnego CF B obliczamy wysokość trapezu

∘ ---2-----2- ∘ --2-----2- √ ----- FC = BC − F B = 40 − 24 = 10 24 = 32.

Z trójkąta prostokątnego AF C obliczamy długość przekątnej trapezu.

∘ ---2------2 ∘ --2-----2- √ ----- AC = AF + FC = 60 + 32 = 4624 = 68 .

Zauważmy teraz, że trójkąty prostokątne AF C i AKP mają wspólny kąt ostry, więc są podobne. Mamy stąd

h AK 24 + 18 4 + 3 7 7 11 2 ----= ---- = ------------- = ----------= --- ⇒ h = ---⋅ 32 = ---- FC AF 2 4+ 1 8+ 18 4 + 3 + 3 10 1 0 5 AP-- AK-- -7- 7-- 238- AC = AF = 1 0 ⇒ AP = 10 ⋅68 = 5 .

Pozostało teraz obliczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt ABP – korzystamy ze wzoru na pole P = pr , gdzie p jest połową obwodu trójkąta. Mamy więc

P- -----12AB--⋅P-K----- ----84-⋅ 1152-- ----84-⋅112----- 9408- r = p = 1 = 238- 238-= 420 + 23 8+ 2 38 = 896 = 10,5. 2(AB + BP + AP ) 8 4+ 5 + 5

 
Odpowiedź: 10,5

Wersja PDF