Zadanie nr 6136387
W równoległoboku wpisano dwa przystające okręgi styczne zewnętrznie do siebie (patrz rysunek). Wykaż, że średnica każdego z tych okręgów jest równa różnicy długości dłuższego i krótszego boku tego równoległoboku.
Rozwiązanie
Sposób I
Połączmy środki okręgów z punktami styczności.
Zauważmy, że zarówno trójkąty
jak i
są przystające. To oznacza, że
Sposób II
Poprowadźmy trzecią wspólną styczną do danych okręgów i oznaczmy przez i punkty wspólne tej stycznej z bokami równoległoboku. Oznaczmy ponadto .
Ponieważ czworokąt jest opisany na okręgu, mamy