Zadanie nr 6412799
Na bokach i kwadratu o polu 1 wybrano punkty i w ten sposób, że .
Oblicz odległość punktu od prostej .
Rozwiązanie
Sposób I
Jeżeli dorysujemy wysokość trójkąta , to trudno oprzeć się wrażeniu, że trójkąty i są przystające do trójkątów i .
Spróbujmy uzasadnić, że rzeczywiście tak jest. Niech będzie takim punktem prostej , że . Trójkąty prostokątne i mają równe kąty oraz , więc są przystające. W szczególności . Ponadto
To oznacza, że trójkąty i mają takie same kąty przy wierzchołku oraz boki przylegające do tych kątów są tej samej długości. Trójkąty te są więc przystające. W takim razie odpowiadające sobie wysokości tych trójkątów też są równe, więc
Sposób II
Tym razem użyjemy trygonometrii. Spróbujemy najpierw obliczyć boki trójkąta w zależności od . Mamy więc
Długość odcinka obliczamy z twierdzenia cosinusów.
Zauważmy teraz, że
Stąd
Odcinek jest wysokością w trójkącie , więc porównując dwa wzory na jego pole mamy
Odpowiedź: 1