Zadanie nr 6475298
Punkty są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku o obwodzie równym 26. Wiedząc, że kąt przy wierzchołku ma miarę i promień okręgu wpisanego w trójkąt jest równy , oblicz długości boków i pole tego równoległoboku.
Rozwiązanie
Zacznijmy od rysunku i oznaczmy boki równoległoboku przez i .
Sposób I
Wiemy, że
Aby wyliczyć i potrzebujemy jeszcze jednego równania – otrzymamy je z podanej długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt (lub , bo trójkąty te są przystające). Jedyny sposób na wyliczenie promienia okręgu wpisanego to wzór na pole
Pole wyliczamy ze wzoru z sinusem
a długość przekątnej wyliczamy z twierdzenia cosinusów.
Mamy zatem
Korzystamy teraz z równości i
Szukając całkowitych pierwiastków można sprawdzić, że jest pierwiastkiem. Dzielimy wielomian przez . My zrobimy to grupując wyrazy.
Rozkładamy wielomian w nawiasie, . Stąd lub . Ponieważ jednak , drugi z pierwiastków odrzucamy. Zatem i lub i .
Pozostało policzyć pole
Sposób II
W zasadzie jest to uproszczenie poprzedniego sposobu. Jak poprzednio dochodzimy do równości
Teraz jednak zauważmy, że
Tak więc
Mamy zatem układ równań
Na mocy wzorów Viéte’a, rozwiązaniami tego układu są pierwiastki równania
Zatem boki równoległoboku mają długości 5 i 8. Pole liczymy jak poprzednio.
Sposób III
Tym razem zróbmy trochę dokładniejszy rysunek: połączmy środek okręgu wpisanego w trójkąt z jego wierzchołkami, oraz z z jego rzutami na boki . Otrzymujemy w ten sposób trzy pary przystających trójkątów prostokątnych, więc , and . Patrząc na trójkąt mamy
Zatem
Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie .
Korzystamy teraz z równości .
Zatem boki mają długości 5 i 8. Pole liczymy jak w poprzednim sposobie.
Odpowiedź: Boki: 5 i 8, pole: