Zadanie nr 6539130
W trapezie podstawa jest 3 razy dłuższa od podstawy . Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie , a proste zawierające ramiona i przecinają się w punkcie . Oblicz stosunek pola czworokąta do pola trapezu .
Rozwiązanie
Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.
Oznaczmy pole trójkąta przez . Spróbujemy (w zależności od ) wyliczyć pola wszystkich trójkątów na obrazku.
Wiemy, że , więc trójkąty i są podobne (bo mają równe kąty) w skali 3:1. Zatem
Trójkąty i mają wspólną wysokość opuszczoną na prostą , a stosunek ich podstaw jest równy . Zatem
Dokładnie w ten sam sposób uzasadniamy, że .
Teraz popatrzmy na trójkąty i . Mają one wspólną wysokość opuszczoną na prostą oraz stosunek ich podstaw jest równy
Zatem
Mamy więc
Odpowiedź: