/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 6543735

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Ramiona trapezu mają długości  √ --- 5 10 i 20. Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku 2:3. Oblicz pole tego trapezu.

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Wiemy, że przekątne trapezu dzielą się w stosunku 2:3, więc możemy oznaczyć długości odcinków, na które się dzielą przez 2x,3x i 2y ,3y jak na rysunku powyżej. Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkątach prostokątnych ASD i BSC .

{ 2 2 250 = 4x + 9y 400 = 9x 2 + 4y 2.

Rozwiązujemy teraz powyższy układ równań – mnożymy pierwsze równanie przez 9, a drugie przez 4 i odejmujemy tak otrzymane równania stronami

 2 2 22 50− 1600 = 8 1y − 16y 65 0 = 65y2 ⇒ y 2 = 10.

Stąd

 2 25 0− 9y2 160 x = ---------- = ----= 40 . 4 4

Pole trapezu ABCD obliczamy jako sumę 4 trójkątów prostokątnych.

P = P + P + P + P = ABCD ABS BSC CSD DSA ∘ ----- = 1(9xy + 6xy + 4xy + 6xy) = 25xy = 25- x2y2 = 2 2 2 25 √ ---- 2 5 = --- 400 = ---⋅ 20 = 250. 2 2

 
Odpowiedź: 250

Wersja PDF
spinner