Zadanie nr 7056995
Trapez równoramienny o obwodzie 20 dm i przekątnej długości jest opisany na okręgu. Oblicz jego pole i cosinusy jego kątów wewnętrznych.
Rozwiązanie
Zacznijmy od rysunku i oznaczmy długość krótszej podstawy trapezu przez , długość ramienia przez , a wysokość przez .
Ponieważ w trapez można wpisać okrąg, sumy długości przeciwległych boków są równe. Ponieważ obwód jest równy 20, to sumy te są równe po 10. W szczególności
Na rysunku widzimy jak wysokości trapezu dzielą dłuższą podstawę na trzy odcinki, środkowy ma długość , a dwa pozostałe będą mieć długość . W takim razie . Liczymy teraz wysokość z trójkąta prostokątnego .
Teraz liczymy pole trapezu.
Możemy też obliczyć .
Zatem
oraz
Odpowiedź: Pole: , cosinusy: i .