Zadanie nr 7079488
Boki prostokąta mają długości i . Punkt jest punktem boku takim, że , a punkt jest takim punktem odcinka , że . Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie .
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Sposób I
Promień okręgu opisanego na trójkącie możemy obliczyć stosując twierdzenie sinusów, ale do tego potrzebujemy znać długość boku trójkąta oraz sinus kąta leżącego naprzeciwko tego boku. Dość łatwo jest obliczyć , więc od tego zaczniemy. Od razu obliczymy też , bo przyda nam się do obliczenia długości odcinka (z twierdzenia cosinusów).
Na mocy twierdzenia Pitagorasa
Stąd
Przy pomocy twierdzenia cosinusów obliczamy teraz długość odcinka .
Pozostało skorzystać z twierdzenia sinusów.
Sposób II
Tym razem obliczymy pole i wszystkie boki trójkąta , aby móc skorzystać ze wzoru na pole .
Zauważmy najpierw, że
Niech i będą rzutami punktów i na prostą . Z podobieństwa trójkątów i mamy
Teraz możemy obliczyć pole trójkąta .
Długość odcinka obliczamy z trójkąta prostokątnego .
Pozostało skorzystać ze wzoru na pole .
Odpowiedź: