Zadanie nr 7225567
Czworokąt jest wpisany w okrąg o promieniu (patrz rysunek). Przekątna czworokąta ma długość 12. Iloczyn sinusów wszystkich kątów wewnętrznych czworokąta jest równy . Wiedząc, że , oblicz miary kątów czworokąta .
Rozwiązanie
Na mocy twierdzenia sinusów w trójkącie mamy
Zatem lub . Ponieważ jednak (własność czworokąta wpisanego w okrąg) i musimy mieć i .
Zapiszmy teraz warunek z iloczynem sinusów
Ponieważ sinus jest dodatni w pierwszych dwóch ćwiartkach, mamy stąd . Zatem lub . Ponieważ jednak i musimy mieć i .
Odpowiedź: