Zadanie nr 7262260
W trapez wpisano okrąg o środku . Okrąg ten jest styczny do ramion i tego trapezu w punktach odpowiednio i (zobacz rysunek).
Uzasadnij, że trójkąt jest prostokątny. Wykaż, że .
Rozwiązanie
Odcinki i są fragmentami dwusiecznych kątów wewnętrznych trapezu, więc
To oczywiście oznacza, że i trójkąt jest prostokątny. Analogicznie uzasadniamy, że trójkąt jest prostokątny.
Dorysujmy teraz promienie i – zauważmy, że są to wysokości w trójkątach prostokątnych i .
Chcemy teraz skorzystać z faktu, że wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego w trójkącie prostokątnym jest średnią geometryczną długości odcinków, na które ta wysokość dzieli przeciwprostokątną. Fakt ten łatwo uzasadnić – wystarczy skorzystać z podobieństwa trójkątów prostokątnych i .
Mamy zatem