Zadanie nr 7305448
Dany jest prostokąt . Okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do przekątnej w punkcie . Okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do boku w punkcie , a środek tego okręgu leży na odcinku , jak na rysunku.
Wykaż, że .
Rozwiązanie
Sposób I
Niech będzie rzutem punktu na bok , a niech będzie rzutem na przekątną .
Trójkąty i są prostokątne oraz mają wspólny kąt
Ponadto w obu trójkątach przyprostokątne leżące naprzeciw tych kątów mają tę samą długość . To oznacza, że trójkąty i są przystające. W szczególności
(skorzystaliśmy z tego, że odcinki stycznych do okręgu poprowadzonych z punktu maję tę samą długość). Mamy zatem
Sposób II
Tak samo jak poprzednio niech będzie rzutem punktu na przekątną . Zauważmy, że środek prostokąta jest środkiem symetrii danego rysunku, więc punkt leży na prostej równoległej do i przechodzącej przez środek okręgu wpisanego w trójkąt . Niech będzie rzutem punktu na bok . Zauważmy, że trójkąty i są prostokątne oraz mają wspólny kąt ostry
Ponadto w obu trójkątach przyprostokątne leżące naprzeciw tych kątów mają tę samą długość . To oznacza, że trójkąty i są przystające. W szczególności
(skorzystaliśmy z tego, że odcinki stycznych do okręgu poprowadzonych z punktu maję tę samą długość). Mamy zatem