/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 7454933

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych
  • Uzasadnij, że sin 15∘ = √-----1∘--√- 2ctg 30 + 2
  • W równoległoboku ABCD dane są miary kątów |∡ABD | = 30∘ i |∡CAB | = 15∘ . Oblicz miarę kąta DAC .

Rozwiązanie

  • Wiemy, że √ -- ctg 30∘ = 3 , spróbujmy jeszcze wyliczyć sin 15∘ . Korzystamy ze wzoru
    cos 2α = 1 − 2 sin 2α.

    Mamy zatem

    √ -- 2 ∘ 1−--cos30∘- 1- --3- sin 15 = 2 = 2 − 4 .

    Aby wykazać żądaną równość liczymy kwadrat jej prawej strony.

    ( ) 1 2 ( 1 )2 P2 = √------------√--- = √-----√--- = 2ctg 30∘ + 2 6 + 2 √ -- √ -- = -----√1-------= ----1-√----= 2-−---3--= 1-− --3-= sin2 15∘ = L 2. 6+ 2 12 + 2 4(2+ 3) 4(4− 3) 2 4

    Obie strony są dodatnie, więc możemy opuścić kwadraty.

  •  

    Sposób I

    Zaczynamy od rysunku.

    PIC

    Zauważmy, że ∡ADB = 18 0∘ − (α + 45∘) . Napiszmy teraz twierdzenia sinusów w trójkątach ABS i ASD (poprzedni podpunkt trochę nam podpowiada jak to zrobić).

    --BS--- --AS--- -SD-- ---AS------ sin15 ∘ = sin 30∘ sin α = sin ∡ADS b a b a ------∘ = 1- ----- = -------∘----------∘--- sin15 2 sin α sin (180 − (α + 45 )) 1 a sin(α + 4 5∘) a -------∘-= -- ------------- = --. 2sin 15 b sin α b

    Porównując te dwie równości i korzystając z pierwszego punktu mamy

    √ -- ∘ √ -- √-2 √-2 --2-ctg30--+---2-= -2-sin-α+---2-cos-α 2 sin α √ 2- √ 2- √ 2- √ 2- ----ctg3 0∘ + ----= ---+ ----ctgα 2 2 2 2 ctg 30∘ = ctg α ⇒ α = 30∘.

    Sposób II

    Zadanie można też rozwiązać nie używając trygonometrii, choć wymaga to odrobiny spostrzegawczości.

    PIC

    Dorysujmy wysokość DH równoległoboku i połączmy punkt H z punktem S . Zauważmy, że odcinek HS jest środkową w trójkącie prostokątnym BDH . To oznacza, że SH = SD , bo S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie BDH i oba odcinki mają długość równą promieniowi tego okręgu. W takim razie trójkąt DHS jest równoboczny (bo jest równoramienny i ma kąt ∘ 60 ). W takim razie ∘ ∡AHS = 15 0 oraz

    ∡ASH = 1 80∘ − 15∘ − 150∘ = 1 5∘

    co oznacza, że trójkąt AHS jest równoramienny. W szczególności

    AH = HS = DH .

    To z kolei oznacza, że trójkąt AHD jest równoramienny i prostokątny, czyli ∡DAH = 45∘ . Stąd

    ∘ ∘ ∡DAC = ∡DAH − 15 = 30 .

     
    Odpowiedź: 30∘

Wersja PDF