/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 7553290

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W równoległoboku ABCD środek P boku CD połączono odcinkami z wierzchołkami A i B . Wiadomo, że |AP | = 12 cm i |BP | = 5 cm oraz |AB | = 2|BC | . Oblicz obwód równoległoboku.

PIC

Rozwiązanie

Zauważmy, że

AB AD = BC = ----= DP 2 P C = AB--= BC . 2

Zatem trójkąty ADP i P BC są równoramienne. Oznaczmy α = ∡DAP = ∡DPA i β = ∡CBP = ∡CP B .

PIC

Proste AP i BP przecinają proste równoległe AB i DC pod tym samym kątem, więc

∡PAB = ∡DPA = α ∡ABP = ∡CP B = β.

Mamy ponadto

∘ ∘ 180 = ∡A + ∡B = 2α + 2β ⇒ α + β = 9 0 .

To z kolei oznacza, że

∘ ∘ ∘ ∘ ∡AP B = 180 − α − β = 180 − 90 = 90 .

Zatem trójkąt AP B jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa mamy

∘ ------------ ∘ --------- √ --------- AB = AP 2 + BP 2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 13.

Teraz już łatwo obliczyć obwód

2AB + 2BC = 3AB = 3⋅ 13 = 39 cm .

 
Odpowiedź: 39 cm

Wersja PDF