/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 7605277

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dwa przeciwległe boki czworokąta wpisanego w okrąg mają równe długości. Wykaż, że czworokąt ten jest trapezem.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Niech ABCD będzie czworokątem wpisanym w okrąg i niech AD = BC .

Sposób I

Zauważmy, że

∡ADB = ∡ACB ,

bo kąty te są oparte na tym samym łuku. Podobnie

∡BDC = ∡ACD ,

bo kąty te są oparte na łukach tej samej długości (tu korzystamy z tego, że AD = BC ). W takim razie ∡D = ∡C . Ponieważ sumy przeciwległych kątów w czworokącie wpisanym w okrąg są równe 180∘ , mamy

∡D = ∡C = 180∘ − A ,

a to oznacza, że proste DC i AB przecinają prostą AD pod tym samym kątem, więc są równoległe.

Sposób II

Tak jak poprzednio zauważamy, że

∡ACD = ∡BDC .

Zauważmy ponadto, że

∡ABD = ∡ACD ,

jako kąty oparte na tym samym łuku. To oznacza, że proste AB i DC przecinają przekątną BD pod tym samym kątem, więc są równoległe.

Wersja PDF