Zadanie nr 7635648
W dany trapez można wpisać okrąg i jednocześnie można na tym trapezie opisać okrąg. Wysokość tego trapezu jest równa 8, a jego kąt ostry ma miarę . Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trapezie.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację – trapez, na którym można opisać okrąg to trapez równoramienny.
Trójkąt prostokątny jest połówką trójkąta równobocznego o boku . Zatem i
Wiemy, że w trapez można wpisać okrąg, więc sumy długości przeciwległych boków są równe
Jeżeli więc oznaczymy , to
Możemy teraz obliczyć długość przekątnej .
Promień okręgu opisanego na trapezie jest taki sam jak promień okręgu opisanego na trójkącie , więc na mocy twierdzenia sinusów
Odpowiedź: