Zadanie nr 7664285
Dany jest prostokąt . Na boku tego prostokąta wybrano taki punkt , że , a na boku wybrano taki punkt , że . Niech oznacza punkt przecięcia prostej z prostą (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty i są przystające.
Rozwiązanie
Sposób I
Odcinek jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie (bo i ), więc . Ponadto
więc trójkąty prostokątne i mają przyprostokątne tej samej długości. Trójkąty te są więc przystające.
Sposób II
Niech będzie środkiem odcinka .
W szczególności
więc . To oznacza, że trójkąt jest równoramienny (bo jego środkowa jest jednocześnie jego wysokością). W takim razie
To oznacza, że trójkąty prostokątne i mają taki sam kąt ostry, więc są podobne. Ponadto , więc są one przystające.