Zadanie nr 7702348
W prostokącie wierzchołek połączono odcinkami ze środkami i boków i , zaś i to punkty przecięcia tych odcinków z przekątną .
- Uzasadnij, że odcinki i są jednakowej długości.
- Uzasadnij, że trójkąty i mają równe pola.
Rozwiązanie
Sposób I
Dorysujmy drugą przekątną prostokąta.
- Ponieważ przekątne prostokąta dzielą się na połowy, odcinki i są środkowymi trójkąta . Ponieważ środkowe dzielą się w stosunku 2:1 (licząc od wierzchołka), mamy
Podobnie, patrząc na trójkąt , uzasadniamy, że
Zatem każdy z odcinków i jest równy .
- Trójkąty i mają wspólną podstawę , a ich wysokości mają się jak
(twierdzenie Talesa). Zatem
Podobnie dla trójkąta .
Sposób II
- Tym razem nie będziemy nic dorysowywać (patrzymy na oryginalny rysunek). Trójkąty i mają równe kąty, są więc podobne. W dodatku skala ich podobieństwa to . Zatem
Podobnie, patrząc na trójkąty podobne i mamy
co kończy dowód.
- Z opisanego wyżej podobieństwa, wystarczy wykazać, że trójkąty i mają równe pola. Oba te trójkąty mają jednak równe podstawy oraz wspólną wysokość, która jest na nie opuszczona.