/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 7751770

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na trapezie opisano okrąg o promieniu długości 25 cm. Dłuższa podstawa trapezu jest średnicą tego okręgu. Wiedząc że przekątna tego trapezu ma długość 40 cm, oblicz obwód tego trapezu.

Rozwiązanie

Narysujmy opisaną sytuację.


PIC


Jeżeli na trapezie ABCD można opisać okrąg, to

∡A = 180∘ − ∡C = ∡B ,

więc trapez jest równoramienny.

Ponieważ podstawa AB jest średnicą okręgu, trójkąt ABD jest prostokątny, skąd

 ∘ ------------ ∘ ---------- ∘ ------- √ -- AD = AB 2 − BD 2 = 502 − 402 = 10 52 − 42 = 10 9 = 30.

Obliczmy teraz wysokość DE trójkąta ABD (a więc również wysokość trapezu). Porównujemy dwa wzory na pole (inny sposób to wykorzystać podobieństwo trójkątów AED i ADB ).

1- 1- 2AB ⋅DE = 2 AD ⋅DB 50 ⋅DE = 30 ⋅40 ⇒ DE = 24 .

Jeżeli oznaczymy CD = a to z trójkąta prostokątnego AED mamy

 2 2 2 AE + ED = AD (25 − 0,5a )2 + 2 42 = 302 2 2 (25 − 0,5a ) = 324 = 1 8 25 − 0 ,5a = 18 0,5a = 7 ⇒ a = 1 4.

Zatem obwód trapezu jest równy

AB + 2BC + a = 50 + 60 + 14 = 1 24.

 
Odpowiedź: 124 cm

Wersja PDF
spinner