Zadanie nr 7810207
Długości boków prostokąta są równe: i . Na odcinku wybrano punkt w ten sposób, że . Oblicz długość odcinka .
Rozwiązanie
Sposób I
Rozpoczynamy od rysunku.
Obliczmy na początek długość przekątnej.
Długość odcinka obliczymy pisząc twierdzenie cosinusów w trójkącie . Zanim to jednak zrobimy zauważmy, że jeżeli to
Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie .
Zatem .
Sposób II
Umieśćmy prostokąt w układzie współrzędnych tak, aby .
Co wiemy o punkcie ? – wiemy, że leży jednocześnie na prostej i okręgu o środku w i promieniu . Napiszemy więc równania prostej i okręgu i znajdziemy ich punkty wspólne.
Z okręgiem jest łatwo:
Teraz prosta . Szukamy jej w postaci i podstawiamy współrzędne punktów i .
Z pierwszego równania wyliczamy
Prosta ma więc równanie . Podstawiamy to wyrażenie do równania okręgu.
Pierwszy pierwiastek odpowiada punktowi, który nie leży na odcinku , więc i
Tak więc i
Odpowiedź: