Zadanie nr 7848321
Przekątna trapezu równoramiennego dzieli jego kąt ostry na kąty o miarach i ( – kąt między przekątną i podstawą). Wyznacz stosunek pól trójkątów, na jakie przekątna ta podzieliła trapez.
Rozwiązanie
Zaczynamy od schematycznego rysunku.
Sposób I
Zauważmy, że
Zatem
Z drugiej strony mamy
Stąd
Sposób II
Ze wzoru z sinusem na pole trójkąta mamy
Pozostało wyliczyć stosunek – zrobimy to korzystając z twierdzenia sinusów w trójkątach i .
gdzie jest promieniem okręgu opisanego na trapezie (a więc również na każdym z trójkątów i ). Mamy zatem
Sposób III
Poprzednie rozwiązanie można odrobinę skrócić, jeżeli skorzysta się z bardziej wyspecjalizowanego wzoru na pole trójkąta, np.
gdzie wszystkie literki mają standardowe znaczenie.
Powiedzmy, że skorzystamy z drugiego wzoru. Jak już wcześniej zauważyliśmy, promienie okręgów opisanych na trójkątach i są równe (bo są równe promieniowi okręgu opisanego na całym trapezie). Zatem
Odpowiedź: