Zadanie nr 7905138
Oblicz pole rombu , wiedząc, że długości promieni okręgów opisanych na trójkątach i odpowiednio są równe i .
Rozwiązanie
Zacznijmy od rysunku i oznaczmy oraz boki rombu przez .
Ponieważ przekątne rombu są prostopadłe, . Stosujemy twierdzenie sinusów do trójkątów i .
Zanim będziemy to przekształcać dalej, zastanówmy się co mamy obliczyć. Pole rombu to suma czterech pól trójkątów prostokątnych. Przyprostokątne tych trójkątów mają długości boków i (łatwo to zobaczyć w trójkącie z podstawą ). Zatem pole rombu jest równe
Widać zatem, że potrzebujemy z otrzymanych wcześniej zależności obliczyć . Dzieląc te równości stronami (żeby skrócić ) mamy
Stąd
Szukane pole wynosi zatem
Odpowiedź: