Zadanie nr 7972113
Przekątne czworokąta wypukłego dzielą go na cztery trójkąty. Wykaż, że jeżeli promienie okręgów opisanych na tych czterech trójkątach są równe, to w czworokąt można wpisać okrąg.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Informację o równych promieniach okręgów opisanych na trójkątach , , i najłatwiej zapisać przy użyciu twierdzenia sinusów.
Ponieważ
mamy stąd
czyli czworokąt jest rombem. W szczególności można w ten czworokąt wpisać okrąg – jego środkiem jest punkt przecięcia się przekątnych.