/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt

Zadanie nr 8088802

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trapez prostokątny ABCD wpisano okrąg, przy czym punkt S jest środkiem tego okręgu, a punkt T jest punktem styczności okręgu wpisanego z dłuższym ramieniem BC . Oblicz pole tego trapezu, jeśli |SC | = 10 i |BT | = 8√ 5- .

PIC

Rozwiązanie

Dorysujmy odcinki łączące punkt S z punktami styczności z podstawami trapezu, oraz odcinek SB .

PIC

Zauważmy, że trójkąty prostokątne, których jeden bok jest promieniem okręgu wpisanego, a przeciwprostokątną jest SB , są przystające. Zatem prosta SB jest dwusieczną kąta ABC . Oznaczmy kąty na jakie dzieli ona kąt ABC przez α . Podobnie niech ∡SCB = ∡SCD = β . Z równoległości prostych AB i CD mamy

∘ 2α + 2 β = 180 α + β = 90∘.

Oznacza to, że trójkąt SBC jest prostokątny. Prostokątny jest też trójkąt T SC i jest on podobny do trójkąta SBC . Jeżeli oznaczymy CT = x to z tego podobieństwa mamy

CT SC ----= ---- SC BC -x-= ---10√--- 10 x + 8 5 2 √ -- x + 8√ 5x = 100 x2 + 8 5x − 100 = 0 √ -- Δ = 320+ 400 = 7 20 = (12 5)2 √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- x = −-8---5−--12--5 < 0 ∨ x = −-8--5-+-12---5 = 2 5 . 2 2

Zatem √ -- √ -- √ -- BC = 8 5 + 2 5 = 10 5 i na mocy twierdzenia Pitagorasa

∘ ----------- √ --------- √ --- √ -- r = ST = SC 2 − TC 2 = 100 − 2 0 = 80 = 4 5.

To oznacza, że wiemy jaka jest długość wysokości trapezu

√ -- h = AD = 2r = 8 5.

Teraz korzystamy z tego, że w czworokącie opisanym na okręgu sumy długości przeciwległych boków są równe. Zatem

√ -- √ -- √ -- AB + CD = AD + BC = 8 5 + 10 5 = 18 5.

Zatem pole jest równe

AB + CD √ -- √ -- P = ----------⋅h = 9 5⋅ 8 5 = 360. 2

 
Odpowiedź: 360

Wersja PDF